Combinatorics and computations : Cartan matrices of monoids & minimal elements of Shi arrangements
Combinatoire et calcul : matrice de Cartan des monoïdes & éléments minimaux des arrangements de Shi
Résumé
This thesis presents an investigation into two distinct combinatorial subjects: the effective computation of Cartan matrices in monoid representation theory and the exploration of properties of minimal elements in Shi arrangements of Coxeter groups. Although disparate, both of these research focuses share a commonality in the utilization of combinatorial methods and computer exploration either as an end in itself for the former or as a help to research for the latter. In the first part of the dissertation, we develop methods for the effective computation of character tables and Cartan matrices in monoid representation theory. To this end, we present an algorithm based on our results for the efficient computations of fixed points under a conjugacy-like action, with the goal to implement Thiéry's formula for the Cartan matrix from [Thiéry '12]. After a largely self-contained introduction to the necessary background, we present our results for fixed-point counting, as well as a new formula for the character table of finite monoids. We evaluate the performance of the resulting algorithms in terms of execution time and memory usage and find that they are more efficient than algorithms not specialized for monoids by orders of magnitude. We hope that the resulting (public) implementation will contribute to the monoid representation community by allowing previously impractical computations. The second part of the thesis focuses on the properties of minimal elements in Shi arrangements. The Shi arrangements were introduced in [Shi '87] and are the object of Conjecture 2 from [Dyer, Hohlweg '14]. Originally motivated by this conjecture, we present two results. Firstly, a direct proof in the case of rank 3 groups. Secondly, in the special case of Weyl groups, we give a description of the minimal elements of the Shi regions by extending a bijection from [Athanasiadis, Linusson '99] and [Armstrong, Reiner, Rhoades '15] between parking functions and Shi regions. This allows for the effective computation of the minimal elements. From the properties of this computation, we provide a type-free proof of the conjecture in Weyl groups as an application. These results reveal an intriguing interplay between the non-nesting and non-crossing worlds in the case of classical Weyl groups.
Cette thèse présente le résultat de recherches sur deux thèmes combinatoires distincts: le calcul effectif des matrices de Cartan en théorie des représentations des monoïdes et l'exploration des propriétés des éléments minimaux dans les arrangements de Shi des groupes de Coxeter. Bien que disparates, ces deux domaines de recherche partagent l'utilisation de méthodes combinatoires et d'exploration informatique, soit en tant que fin en soi pour le premier domaine, soit comme aide à la recherche pour le second. Dans la première partie de la thèse, nous développons des méthodes pour le calcul effectif des tables de caractères et des matrices de Cartan dans la théorie des représentations des monoïdes. À cette fin, nous présentons un algorithme basé sur nos résultats pour le calcul efficace des points fixes sous une action similaire à une conjugaison, dans le but de mettre en œuvre la formule de [Thiéry '12] pour la matrice de Cartan. Après une introduction largement auto-contenue aux notions nécessaires, nous présentons nos résultats sur le comptage des points fixes, ainsi qu'une nouvelle formule pour la table de caractères des monoïdes finis. Nous évaluons les performances des algorithmes résultants en termes de temps d'exécution et d'utilisation mémoire. Nous observons qu'ils sont plus efficaces par plusieurs ordres de grandeur que les algorithmes non spécialisés pour les monoïdes. Nous espérons que l'implémentation (publique) résultant de ces travaux contribuera à la communauté des représentations des monoïdes en permettant des calculs auparavant difficiles. La deuxième partie de la thèse se concentre sur les propriétés des éléments minimaux dans les arrangements de Shi. Les arrangements de Shi ont été introduits dans [Shi '87] et sont l'objet de la Conjecture 2 dans [Dyer, Hohlweg '14]. Initialement motivés par cette conjecture, après une introduction aux notions nécessaires, nous présentons deux résultats. Premièrement, une démonstration directe dans le cas des groupes de rang 3. Deuxièmement, dans le cas particulier des groupes de Weyl, nous donnons une description des éléments minimaux des régions de Shi en étendant une bijection issue de [Athanasiadis, Linusson '99] et [Armstrong, Reiner, Rhoades '15] entre les fonctions de parking et les régions de Shi permettant d'effectuer le calcul pratique des éléments minimaux. Comme application, à partir des propriétés de ce calcul, nous donnons une démonstration de la conjecture pour les groupes de Weyl indépendante de leur classification. Ces résultats révèlent une interaction intrigante entre les partitions non-croisées et non-embrassées dans le cas des groupes de Weyl classiques.
Origine : Version validée par le jury (STAR)