A local limit theorem for convergent random walks on relatively hyperbolic groups

Matthieu Dussaule (1) , Marc Peigné (1) , Samuel Tapie (2, 3)

1 IDP - Institut Denis Poisson
2 IECL - Institut Élie Cartan de Lorraine
3 LMJL - Laboratoire de Mathématiques Jean Leray

We study random walks on relatively hyperbolic groups whose law is convergent, in the sense that the derivative of its Green function is finite at the spectral radius. When parabolic subgroups are virtually abelian, we prove that for such a random walk satisfies a local limit theorem of the form $p_n(e, e)\sim CR^{-n}n^{-d/2}$, where $p_n(e, e)$ is the probability of returning to the origin at time $n$, $R$ is the inverse of the spectral radius of the random walk and $d$ is the minimal rank of a parabolic subgroup along which the random walk is spectrally degenerate. This concludes the classification all possible behaviour for $p_n(e, e)$ on such groups.

Nous étudions les marches aléatoires sur des groupes relativement hyperboliques dont la loi est convergente, au sens où la dérivée de sa fonction de Green est finie au rayon spectral. Lorsque les sous-groupes paraboliques sont virtuellement abéliens, nous montrons qu'une telle marche vérifie un théorème de la limite locale de la forme $p_n(e, e)\sim CR^{-n}n^{-d/2}$, où $p_n(e, e)$ est la probabilité de retour à l'origine au temps $n$, $R$est l'inverse du rayon spectral de la marche et $d$ est le rang minimal d'un sous-groupe parabolique le long duquel la marche aléatoire est spectralement dégénérée.

Domaines: Systèmes dynamiques [math.DS]; Topologie géométrique [math.GT]; Probabilités [math.PR]

Matthieu Dussaule, Marc Peigné, Samuel Tapie. A local limit theorem for convergent random walks on relatively hyperbolic groups. 2023. ⟨hal-03584915v2⟩